Category: мода

Category was added automatically. Read all entries about "мода".

Шестиугольные числа

почти ровно год назад как-то совершенно неожиданно к юбилею Эйлера придумалась задачка про Шестиугольные числа
http://community.livejournal.com/ru_math/492356.html

в этом году у прошлогодней задачки появилось неожиданное элегантное продолжение:

Существует ли не очень сложное доказательство того, что числа (6n-2)^(6n-2) + (6n-1)^(6n-1) делятся на (12n^2-6n+1)^2 при всех целых n>0?

Например,

4^4 + 5^5 делится на 7^2,

10^10 + 11^11 делится на 37^2,

16^16 + 17^17 делится на 91^2,

22^22 + 23^23 делится на 169^2...

теперь, если объединить обе задачки в одну и как-нибудь элегантно их вместе решить, то все шестиугольные числа будут охвачены и старик Эйлер будет нами доволен Collapse )

многоугольное

На досуге нашел количество точек пересечения диагоналей в правильном 66-угольнике. Получилось 639013. А как проверить? Не ошибся ли?

Было бы занятно, если б существовал элегантный способ получения правильной комбинаторной формулы для числа точек пересечения диагоналей в правильных многоугольниках.

Известная правильная формула, n(n-1)(n-2)(n-3)/24, существующая для выпуклых n-угольников общего вида, к сожалению, годится только для правильных многоугольников с нечетным числом вершин.

Для n = 66 правильная формула дает красивый, но неправильный, ответ - 720720.