rune

Свести поверхностный заряд к объёмному

Заинтересовала меня тут одна задача. Спрашиваю здесь, потому что уверен, что математики уже там давно уже все углы обгадили, решение должно уже быть, и мне дадут сразу правильные ссылки.

Из электростатики мы знаем об уравнении Пуассона, связывающем потенциал электрического поля и плотность заряда. Зная распределение объёмного заряда и потенциал на границе области, можно восстановить потенциал (и поле) во всём пространстве.

Меня интересует обратная задача: восстановить плотность заряда, зная потенциал на границе области (считаем, что снаружи области зарядов нет). Очевидно, задача не имеет однозначного решения. Одно из решений заключается в том, чтобы дважды решить уравнение Лапласа (внутри и снаружи области), а затем по излому производной потенциала на границе найти поверхностное распределение заряда. То есть, весь заряд в таком решении распределен по границе.

Но хочется другое решение. Хочется решение, в котором заряд максимально сконцентрирован. То есть, если потенциал представим как конечная сумма точечных зарядов, то чтобы именно это распределение и было результатом.

Я попробовал решать вариационную задачу, максимизируя потенциальную энергию зарядов (сконцентрированный заряд запасает больше энергии, и сильнее "хлопнет", если "взорвётся" на куски). То ли я плохо помню вариационное исчисление, то ли где-то ошибся, но результатом варьирования оказалось именно поверхностное распределение заряда (возможно, что в нём, наоборот, получается минимум энергии).

Можно свести всё к мультипольному разложению, тогда результатом будет сингулярная каша в начале координат, но это тоже не то, что мне нужно, да и я сомневаюсь, что удовлетворит условию минимальности.

Как же подступиться к задаче?

Многогранник из выпуклых шестиугольников существует ли?

Вопрос: существует ли тороидальный многогранник, каждая грань которого является выпуклым шестиугольником?

Нетрудно доказать, что не существует сфероподобного многогранника, все грани которого являются выпуклыми шестиугольниками (это противоречит В+Г-Р=2). Существует тороидальный многогранник, некоторые грани которого являются невыпуклыми шестиугольниками (пример ниже принадлежит С.А.Лавреченко):



В интернете есть примеры красивых картинок с якобы выпуклыми шестиугольниками, см. например https://mathematica.stackexchange.com/questions/39879/create-a-torus-with-a-hexagonal-mesh-for-3d-printing/39930



Имею предположить, что все эти картинки неверные (то ли какая-то грань на самом деле неплоская, то ли один из шестиугольников невыпуклый). Основание так считать -- то, что на этих картинках в каждой вершине сходится ровно 3 шестиугольника (а так, видимо, не бывает -- т.е. пример с выпуклыми гранями, если он есть, обладает тем свойством, что в каких-то вершинах сходится более 3 шестиугольников).

Буду благодарен за советы.
киса

(no subject)

Рассмотрим числа, которые можно построить циркулем и линейкой
https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_number
Пиша программу для интерактивных геометрических построений, задался вопросом, как эти числа записывать и сравнивать по величине?
http://dxdy.ru/topic116649.html
Оказалось, вопрос решён (глава Solving Geometrical Constraint System, автор Denis Bouhineau)
https://libgen.pw/download.php?id=336879
Идея в том, что не надо придумывать обозначения для всех чисел сразу. Делая конкретное геометрическое построение циркулем и линейкой, мы добавляем к полю рациональных чисел некоторые квадратные корни и получаем расширение вроде Q[\sqrt 2][\sqrt 3]. Элементы каждого такого поля записываются как пары чисел из предыдущего поля, например, элементы Q[\sqrt 2] имеют вид a+b\sqrt 2, где a и b из Q. Выписывается простой рекурсивный алгоритм сравнения по величине. Ключевая проблема - как не ввести поле вроде Q[\sqrt 9]? Bouhineau предложил алгоритм, проверяющий, является ли число полным квадратом в поле такого вида, мы можем проверить, что \sqrt 9=3 и расширять не надо.
В конце статьи проблема, цитирую
The main result of this paper relies on the possibility to find explicit square root in algebraic extention of Q with square roots. Can this be extended to root of arbitrary degree?

И вот вопрос - можно ли это сделать? Я спрашивал у Bouhineau, он не знает.

Минимальный многочлен для точки на единичной окружности может ли иметь нечетную степень?

Возьмем единичную окружность с центром в нуле, а на ней какую-либо точку. У соответствующего комплексного числа (если оно алгебраическое) есть минимальный многочлен. Вопрос: может ли он иметь нечетную степень?

Например, если взять число cos(Pi/9) + I * sin(Pi/9) , то у него минимальный многочлен x^6-x^3+1 имеет степень 6, т.е. четную. Буду благодарен за пример с нечетной степенью или доказательство, что такого быть не может (тривиальные пример x+1 и x-1 исключаем)

Спасибо.

Теория относительности и автоморфные функции

СТО связана с геометрией Лобачевского (пространство скоростей). Автоморфные функции тоже связаны с геометрией Лобачевского. А есть ли работы, которые рассматривали бы связь ТО с автоморфными функциями?

Черновики Брауэра

В сеть выложили черновики Брауэра, который известен топологам как автор теоремы о неподвижной точке, а логикам - как основатель интуиционизма.

На странице по ссылке содержатся отсканированные черновики Брауэра, а также набранная на компьютере расшифровка этих черновиков - правда и то, и другое, на нидерландском языке (улыбка). Также на этой странице можно скачать диссертацию Иоганнеса Кайпера на английском языке "Ideas And Explorations. Brouwer’s Road to Intuitionism", посвященную анализу этих черновиков, - рекомендуется для прочтения историкам математики и апологетам интуиционизма (если они у нас еще остались), ну, и, в целом, специалистам по математической логике и основаниям математики.

Вопрос из теории групп.

Оригинал взят у niktoinikak в Вопрос из теории групп.
Следует ли из совпадения множества левых и правых смежных классов что подгруппа нормальная?
Вопрос кажется довольно естественным(хотя раньше мне в голову не приходил), групповушники вероятно знают ответ, но ответить на него сходу мне не удалось, беглый поиск
https://yandex.ru/search/?msid=1497032587.29633.22912.24730&text=%D0%A1%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D1%83%D0%B5%D1%82%20%D0%BB%D0%B8%20%D0%B8%D0%B7%20%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%85%20%D0%B8%20%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D1%8B%D1%85%20%D1%81%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%B2%20%D1%87%D1%82%D0%BE%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0%20%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F&lr=213
тоже ничего не дал :-(

Список математиков высшего ранга

Оригинал взят у niktoinikak в Список математиков высшего ранга
Фалес, Евдокс, Теэтет, Архимед, Диофант, Виет, Ферма, Декарт, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж, Абель, Галуа, Коши, Гаусс, Дирихле, Вейерштрасс, Риман, Ли, Кантор, Пуанкаре, Гильберт, Гротендик
Товарищи квалифицированные математики, плиз Ваше мнение.

Отнормировать выражение

Здравствуйте уважаемые математики!

Помогите, пожалуйста, решить вроде бы не сложную задачу. Но что-то я туплю и чего-то не улавливаю...

Итак, условие: есть некая матрица А[N,K], т.е. в N строк и K столбцов, элементы которой пусть сэмплятся из одного и того же распределения P.
Для этой матрицы считаем матрицу ковариации её столбцов, а потом следом суммируем квадраты всех элементов матрицы ковариации, не лежащих на главной диагонали в скалярную величину L.
Далее нас интересует как меняется L при изменениях элементов исходной матрицы A, т.е. нужна матрица dL частных производных функции L(A) по каждому элементу А.

Проблема: магнитуда (rms) элементов dL в такой (канонической) постановке задачи оказывается зависимой не только от свойств порождающего А распределения Р, но и от самой размерности А, т.е. от N и K. А хочется, чтобы магнитуда dL от N и K не зависела. (т.е. надо как-то отнормировать L и dL, чтобы эту цель достичь. Вопрос - как?)

Или же в Матлабе:
Collapse )