• bntr

Выразимость одних рациональных чисел через другие

Направьте, пожалуйста, хотя бы термином, куда смотреть по поводу такой задачи.

Пусть есть несколько рациональных чисел.
Можно ли просто узнать, "независимы" они, или одни из них умножением и делением выразимы через другие?
Например {1/2, 2/3, 2/9} не "независимы", т.к. 2/9 = (2/3)*(2/3)/(1/2)

Пробовал рассматривать рациональные числа как векторы из показателей степеней простых чисел - не помогало.
киса

Уточнение предыдущего вопроса

Верно ли, что три попарно не пересекающиеся прямые в трёхмерном проективном пространстве определяют его ориентацию? Содержательно, они закручены или правым, или левым винтом, но как это формализовать?
киса

Ориентация трёхмерного проективного пространства

Есть ли изящный способ задавать ориентацию трёхмерного проективного пространства? Способ нужен "элементарный", без дифференциальной геометрии. Например, в евклидовом пространстве точка делит прямую на две части. Чтобы ориентировать прямую, надо выбрать одну из частей. Прямая делит плоскость на две части. Чтобы ориентировать плоскость, надо выбрать одну из полуплоскостей (если прямая уже ориентирована). Плоскость делит пространство на две части, надо выбрать одно из полупространств (если плоскость уже ориентирована). Для проективного пространства это не годится (проективная плоскость не ориентируема и не делит проективное пространство на две части). Отношение "лежать между" в проективном случае требует четырёх аргументов и становится неудобным для работы.

Зачем мне это нужно: на трёхмерном проективном пространстве можно задать умножение точек и превратить его в группу. А именно, точки проективного пространства соответствуют поворотам обычного (евклидова) пространства вокруг начала координат. Каждый поворот можно задать вектором, направленным вдоль оси поворота, длина которого равна углу поворота (тут надо выбрать правый или левый винт). Такие векторы заполняют шар радиуса пи с отождествлёнными диаметрально противоположными точками сферы (потому что повороты на пи и минус пи вокруг одной оси дают одинаковый результат). И тут мы видим, что умножение точек (композиция поворотов) зависит от того, как мы откладывали вектор поворота - правым или левым винтом. Таким образом, умножение точек зависит от ориентации проективного пространства. Чрезвычайно хочу придумать операцию, не зависящую от ориентации, через которую выражается это умножение, если ориентация выбрана.

Много подробностей про эту группу и её связь с проективной геометрией есть в книге Бахман "Построение геометрии на основе понятия симметрии".

Как перевести smashing на русский?

Есть в гомологической алгебре термин smashing subcategory - и всякие его родственники/обобщения. Не посоветуете - как бы его перевести на русский? Может быть, кто-нибудь его где-нибудь уже перевел?:) Транслитерировать не хочу.

Спасибо!

Атия заявил о доказательстве гипотезы Римана

Британский математик заявил о доказательстве гипотезы Римана

© 2018 N+1

nplus1.ru/news/2018/09/21/riemann

nplus1.ru/

89-летний британский математик, сэр Майкл Фрэнсис Атья (Michael Francis Atiyah), лауреат премий Абеля и Филдса, известный своим вкладом в алгебраическую геометрию и топологию, заявил об успешном доказательстве гипотезы Римана. Это знаменитое утверждение описывает то, как расположены на числовой прямой простые числа. Математик представит «простое доказательство, использующее кардинально новый подход» утром в понедельник, 24 сентября

7/7

известно, что великий математик Карл Фридрих Гаусс родился в 1777 году и прожил 77 лет.

сегодня 7 июля, то есть, 7/7.

мне почему-то вспомнилась задачка в духе великого Гаусса (а также в духе великого Эйлера, Рамануджана, нужное подчеркнуть)

777. задачка про разбиения целых чисел

пусть a(n) — это число разбиений целого числа 4n на 4 целые части (partitions).

1. докажите, что a(1000) = 444777777 + 1.

2. докажите, что для всех целых чисел k>0, a(10^k) = 4...47...7 + 1, где сначала цифра 4 повторяется k-раз, а затем цифра 7 повторяется 2k-раз.

то есть, a(10) = 478, a(100) = 447778 и т.д.

NB a(10) = 478 = 2*239,
а значит, эту задачку очень легко запомнить тем, кто помнит № одной известной питерской ФМШ (и № одной известной московской ФМШ)

что такое разбиения см., например, Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. (журнал "Квант" N11,1988) http://kvant.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm
.
Разбие́ние числа n — это представление n в виде суммы положительных целых чисел, называемых частями. При этом порядок следования частей не учитывается (в отличие от композиций), то есть разбиения, отличающиеся только порядком частей, считаются равными. https://ru.wikipedia.org/wiki/Разбиение_числа
.
https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)

как Элленберг считал вероятности в трансильванской лотерее в книжке "Как никогда не ошибаться..."

Приветсвую сообщество,

читаю книжку Элленберга в оригинале она называется "How not to be wrong: The Power of Mathematical Thinking" там он разбирает пример с трансильванской лотерей, плоскостью Фано итд сначала для случая как выбрать 7 билетов из 35 возможных, так чтобы максимизировать вероятность получения 2 правильных номеров из 3, за которые тоже дают приз. И он приводит таблицу вероятностей для разного количества билетов с 2 цифрами в 7 билетах и снабжает все это комментарием вы можете это сами посчитать. Я рассмотрел самые простые случаи -- ни одного билета с 2 правильными номерами и все 7:

ни одного: (23 chose 7)/(35 chose 7)
все семь: (12 chose 7)/35 chose 7)

и у меня получаются другие значения, чем в таблице.

Вопрос: что я делаю не так и как правильно считать?
reuleaux

Спектральный радиус - оценка сверху

Пусть A - квадратная симметрическая матрица с неотрицательными элементами. У нее есть два вида строк: стохастические (сумма = 1) и субстохастические (сумма < 1). Понятно, что наибольшее собственное число А (= спектральный радиус ϱ(A)) меньше 1. Хотелось бы иметь более точную оценку сверху. Интуитивно понятно, что чем больше субстохастических строк, тем дальше от 1 будет ϱ(А).

Точнее, предположим, что мы знаем, что пропорция субстохастических строк не меньше 𝛿, где 0<𝛿<1. Можно ли что-то сказать про ϱ(A)? Есть формула для ϱ(A) через квадратичные формы, но неясно, как она может помочь.

В той модели, которая меня интересует, есть дополнительная информация про А. А именно,

(1) строки А содержат от двух до четырех ненулевых элементов;
(2) эти элементы 1/2 или 1/4;
(3) сумма элементов каждой строки 1/2, 3/4 или 1.
(4) матрица А центросимметрическая.

Заранее спасибо!
  • f4ekmah

Численные методы для решения задачи n тел.

Численно решаю задачу n тел методом Эйлера. Когда тела сближаются, большие ускорения скачком пробрасывают тела мимо друг друга; торможения не происходит, поскольку к следующему шагу тела уже далеко.
Это заметно повышает общую энергию системы.

Пытаясь избавиться от проблемы, попробовал неявный метод(ОДУ-шный аналог схемы Кранка-Николсона). Не помогло.

1.) Может быть кто знает, какие методы хорошо подходят для задачи n-тел?
2.) Не существует ли подхода, при котором общая энергия системы сохраняется?