Георгий (66george) wrote in ru_math,
Георгий
66george
ru_math

Топологический вопрос о проективном пространстве

Можно ли на каждой прямой трёхмерного проективного пространства выбрать точку, чтобы точка от прямой зависела непрерывно? При желании трёхмерное проективное пространство можно представить как шар, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки сферы. Тогда прямые изображаются кусками окружностей любой кривизны, лежащих внутри шара и пересекающих его поверхность в диаметрально противоположных точках (включая диаметры и "экваторы" - большие окружности на сфере). Думаю, что нельзя, но бывают всякие чудеса (вроде слоения Риба).

P.S. Подумал: возьмём для простоты проективную плоскость, она устроена как сфера с отождествлёнными диаметрально противоположными точками. Большие окружности на сфере превращаются в прямые на проективной плоскости. Каждой точке сферы ("полюсу") соответствует большая окружность ("экватор", полярная прямая). Допустим, можно на каждой прямой непрерывно выбрать точку. Тогда для каждой точки ("полюса") выберем точку на его "экваторе", проведём через них прямую и получим причёсывание ежа (поле касательных прямых, непрерывно зависящих от точки-полюса). Для сферы это невозможно, а для проективной плоскости?
Subscribe

  • Help

    Дорогие коллеги, помогите, если можете, получить доступ (нужно довольно срочно) к книге М.С Пинскера "Информация и информационная устойчивость…

  • Дело Лузина

  • Неравенство о средних, геометрическое доказательство.

    Известное неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для 3 переменных можно записать в виде (a+b+c)^3 ⩾ 27abc Александр…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 2 comments