Георгий (66george) wrote in ru_math,
Георгий
66george
ru_math

Category:

Ориентация трёхмерного проективного пространства

Есть ли изящный способ задавать ориентацию трёхмерного проективного пространства? Способ нужен "элементарный", без дифференциальной геометрии. Например, в евклидовом пространстве точка делит прямую на две части. Чтобы ориентировать прямую, надо выбрать одну из частей. Прямая делит плоскость на две части. Чтобы ориентировать плоскость, надо выбрать одну из полуплоскостей (если прямая уже ориентирована). Плоскость делит пространство на две части, надо выбрать одно из полупространств (если плоскость уже ориентирована). Для проективного пространства это не годится (проективная плоскость не ориентируема и не делит проективное пространство на две части). Отношение "лежать между" в проективном случае требует четырёх аргументов и становится неудобным для работы.

Зачем мне это нужно: на трёхмерном проективном пространстве можно задать умножение точек и превратить его в группу. А именно, точки проективного пространства соответствуют поворотам обычного (евклидова) пространства вокруг начала координат. Каждый поворот можно задать вектором, направленным вдоль оси поворота, длина которого равна углу поворота (тут надо выбрать правый или левый винт). Такие векторы заполняют шар радиуса пи с отождествлёнными диаметрально противоположными точками сферы (потому что повороты на пи и минус пи вокруг одной оси дают одинаковый результат). И тут мы видим, что умножение точек (композиция поворотов) зависит от того, как мы откладывали вектор поворота - правым или левым винтом. Таким образом, умножение точек зависит от ориентации проективного пространства. Чрезвычайно хочу придумать операцию, не зависящую от ориентации, через которую выражается это умножение, если ориентация выбрана.

Много подробностей про эту группу и её связь с проективной геометрией есть в книге Бахман "Построение геометрии на основе понятия симметрии".
Subscribe

Recent Posts from This Community

  • Help

    Дорогие коллеги, помогите, если можете, получить доступ (нужно довольно срочно) к книге М.С Пинскера "Информация и информационная устойчивость…

  • Топологический вопрос о проективном пространстве

    Можно ли на каждой прямой трёхмерного проективного пространства выбрать точку, чтобы точка от прямой зависела непрерывно? При желании трёхмерное…

  • Дело Лузина

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 10 comments

Recent Posts from This Community

  • Help

    Дорогие коллеги, помогите, если можете, получить доступ (нужно довольно срочно) к книге М.С Пинскера "Информация и информационная устойчивость…

  • Топологический вопрос о проективном пространстве

    Можно ли на каждой прямой трёхмерного проективного пространства выбрать точку, чтобы точка от прямой зависела непрерывно? При желании трёхмерное…

  • Дело Лузина