Gaz-v-pol (gaz_v_pol) wrote in ru_math,
Gaz-v-pol
gaz_v_pol
ru_math

Category:

Сумма кубов неожиданная.

Есть известная теорема о том, что

1^3 + 2^3 + ... +n^3 = (1 + 2 + ... +n)^2

Менее известно, что есть несложный алгоритм по нахождению некоторых иных наборов чисел с таким свойством. Возьмем любое натуральное число, например, 6. У него 4 делителя: 1; 2; 3; 6. У единицы 1 делитель, у двойки 2 делителя, у тройки 2 делителя, у шестерки 4 делителя - вот эти делители и будут числами, сумма кубов которых равна квадрату их суммы:

1^3 + 2^3 + 2^3 + 4^3 = (1 + 2 + 2 + 4)^2

Предлагаю желающим подумать, почему это верно?
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 1 comment

Bestpapa_lyosha

March 30 2017, 22:00:55 UTC 2 years ago

  • New comment
Если на списках чисел ввести операцию умножения: произведением двух списков будем считать список всех попарных произведений:
l1 * l2 = [a*b | a<-l1, b<-l2],
то можно заметить, что операция d(n)="все делители числа n" будет сохранять умножение для взаимно простых чисел:
(a,b)=1 => d(a*b) = d(a) * d(b)
Кроме того сохраняют умножение операции: длина списка, возведения в квадрат, возведение в куб и сумма. Наконец, если некая операция на числах f сохраняет умножение, то поэлементное применение f к списку (map f) тоже сохраняет умножение.
Требуемое равенство можно записать при помощи этих операций:
sum ∘ map (^3) ∘ list ≡ (^2) ∘ sum ∘ list, where list = map (length∘d) ∘ d
(прошу прощение за свой Haskell)
Таким образом достаточно доказать это равенство для степеней простых чисел. А для степеней простых - это известное равенство, с которого начался пост.