Gaz-v-pol (gaz_v_pol) wrote in ru_math,
Gaz-v-pol
gaz_v_pol
ru_math

Многоугольник, замощающий плоскость только непериодически.

Появилась интересная статья "An aperiodic hexagonal tile" by Joshua Socolar and Joan Taylor. В ней предъявлена состоящая из нескольких многоугольников фигура, копиями которой можно замостить плоскость, но любое из возможных замощений является непериодическим.

Остаётся открытой проблема, существует ли один многоугольник, копиями которого можно замостить плоскость, но любой паркет является непериодическим (сообщение http://lenta.ru/news/2010/03/26/math/ о том, что данная задача тоже решена в статье, к сожалению, неверно).



Определение1. Многоугольник называется паркетным, если имея много его копий, можно выложить всю плоскость (прикладывать разрешается как угодно, не обязательно сторона к стороне; переворачивать разрешается).

Определение2. Паркет называется периодическим, если найдутся два непараллельных вектора, сдвиг на каждый из которых переводит картинку в себя.

Теорема (сложная): если многоугольник допускает паркет, который переводится в себя сдвигом на некоторый вектор, то из этого же многоугольника можно сложить паркет (возможно, другой), который будет переводиться в себя сдвигом на два непараллельных вектора (т.е. периодический).

Примеры:

а) Единственный возможный паркет из правильных шестиугольников является периодическим.

б) Из квадратов можно сложить как периодический паркет, так и непериодический паркет, у которого найдётся лишь один вектор (чуть сдвинув одну из полосок).

в) Из треугольников со сторонами 1,1,sqrt(2) можно сложить как периодический паркет, так и паркет, у которого найдётся лишь один вектор, так и паркет, который не переходит в себя ни при каком сдвиге.


История вопроса непериодических замощений.

1900. Hilbert составляет список "проблем Гильберта". 18ая проблема задаёт несколько вопросов. Один из них: существует ли такой паркетный многогранник, что при любом способе замощения им пространства найдутся два многогранника, которые нельзя перевести друг в друга так, чтобы весь паркет перешёл в себя. Гильберт верил в отрицательный ответ (так что задать вопрос про многоугольник, замощающий только непериодически, ему, видимо, не хватило смелости).

1928. Reinhardt приводит пример такого многогранника.

1935. Heesch приводит приводит пример мноугольника на плоскости с таким свойством.

1961. Wang пытался разобраться, существует ли алгоритм, который получает на вход набор многоугольников, и говорит на выходе "да" или "нет" (можно ли этим набором замостить плоскость). Он свёл задачу к вопросу: верно ли, что если каким-то набором многоугольников можно замостить плоскость, то этим же набором можно замостить плоскость периодически (на самом деле Wang решал немного другую задачу, но, видимо, изоморфную)

1966. Berger предъявил набор из 20426 многоугольника, которыми можно замостить плоскость бесконечным числом способов, но каждый из способов является непериодическим.

Далее разные авторы уменьшали число многоугольников в наборе. В настоящий момент (2010) данное число уменьшено до трёх (если требовать выпуклость, Ammann 1977) и двух (если не требовать, Penrose 1974). Про паркеты Амманна записей по-русски мне не встречалось, поэтому дам ссылку и картинку:


Набор Амманна из двух пятиугольников и одного шестиугольника. Ими можно замостить плоскость бесконечным числом способов, но каждый из способов является непериодическим.

1995. Conway привёл пример многогранника, которым можно замостить пространство, но только непериодически.


Таким образом, являются открытыми вопросы:

1. Существует ли многоугольник, которым можно замостить плоскость, но только непериодически?

2. Существует ли набор из двух выпуклых многоугольников, которым можно замостить плоскость, но только непериодически?

Пример, приведённый в обсуждаемой работе "An aperiodic hexagonal tile", любопытен: можно так раскрасить правильный шестиугольник и так установить правила (не любые стороны можно прикладывать друг к другу и не любые шестиугольники прикладывать через один), что при соблюдении правил плоскость можно им замостить только непериодически. Однако, достроить это решение до обычного разбиения (без правил), вырезая на сторонах долины и соответствующие горы на других сторонах, невозможно. Причина в том, что шестиугольник переворачивается на обратную сторону (т.е. фактически с учётом правил используются два многоугольника). Поэтому, к сожалению, из указанного в работе примера не видно способа получения ответа на какой-либо из вышеуказанных открытых вопросов. Однако, можно сделать горы и долины отделёнными (т.е. части являются несвязными):




Кроме того, из указанной статьи, скорее всего, можно сделать новый пример набора из двух многоугольников (прямой и перевёрнутый), на сторонах которых можно нарезать горы и долины, кодирующие правила прикладывания. Знатоки метапоста, ау, нарисуйте, пожалуйста?

В случае R^3, в отличие от плоского, приведённый авторами пример многогранника, которым можно замостить всё пространство, но только непериодически, не содержит указанных недостатков и является строго верным, и даже в некотором смысле более непериодическим, чем пример Конвэя.


Касаясь первоначального вопроса: лично я всё равно верю, что такого многоугольника не существует.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 7 comments