Александр Николаевич a.k.a. Саша (aadamchuk) wrote in ru_math,
Александр Николаевич a.k.a. Саша
aadamchuk
ru_math

Categories:

Шестиугольные числа

почти ровно год назад как-то совершенно неожиданно к юбилею Эйлера придумалась задачка про Шестиугольные числа
http://community.livejournal.com/ru_math/492356.html

в этом году у прошлогодней задачки появилось неожиданное элегантное продолжение:

Существует ли не очень сложное доказательство того, что числа (6n-2)^(6n-2) + (6n-1)^(6n-1) делятся на (12n^2-6n+1)^2 при всех целых n>0?

Например,

4^4 + 5^5 делится на 7^2,

10^10 + 11^11 делится на 37^2,

16^16 + 17^17 делится на 91^2,

22^22 + 23^23 делится на 169^2...

теперь, если объединить обе задачки в одну и как-нибудь элегантно их вместе решить, то все шестиугольные числа будут охвачены и старик Эйлер будет нами доволен

PS обратите внимание на то, что, как и в прошлогодней задачке, иногда наши числа делятся не только на полные квадраты, но и на четвёртые степени:

22^22 + 23^23 делится на 169^2 = 13^4

такие делители четвёртой степени {13, 2521, 489061, ...} имеют довольно простую рекуррентную формулу, являясь целыми квадратными корнями из центрированных шестиугольных чисел

а также, они сами всегда являются суммой двух последовательных квадратов, которые тоже определяются простой рекуррентной формулой:

13 = 2^2 + 3^2,

2521 = 35^2 + 36^2,

489061 = 494^2 + 495^2...

...и, как и следовало ожидать, эти числа напрямую связаны с индексами пентагональных чисел, которые одновременно являются и треугольными числами

в общем, в духе Эйлера магические числа получаются

PPS да, кстати, американцы недавно выпустили почтовую марку с большим магическим квадратом
Subscribe

  • Help

    Дорогие коллеги, помогите, если можете, получить доступ (нужно довольно срочно) к книге М.С Пинскера "Информация и информационная устойчивость…

  • Топологический вопрос о проективном пространстве

    Можно ли на каждой прямой трёхмерного проективного пространства выбрать точку, чтобы точка от прямой зависела непрерывно? При желании трёхмерное…

  • Дело Лузина

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 4 comments