Александр Николаевич a.k.a. Саша (aadamchuk) wrote in ru_math,
Александр Николаевич a.k.a. Саша
aadamchuk
ru_math

3373

Хочу обратить внимание почтеннейшей публики на замечательное число 3373, которое удивительным образом демонстрирует загадочную связь между числами Серпинского и гармоническими числами.

Числа Серпинского первого рода это числа вида S(n) = n^n + 1.

Про них много чего известно.

Например, сам Серпинский доказал, что если S(n) простое при n>1, то n имеет вид n = 2^2^k и следовательно S(n) = F(m) — это число Ферма с номером m = k + 2^k.

Как известно, простых чисел Ферма F(n) = 2^2^n + 1 известно не так уж много, хотя сам Ферма считал все числа Ферма простыми.

Известно, что Эйлер показал в 1732 году, что 641 делит F(5) = 2^2^5 + 1.


Так вот, оказывается наше простое число p = 3373 обладает удивительными свойствами:

1. p^2 делит число Серпинского S((p-1)/2),

а также

2. p делит одновременно W((p-3)/2) и W((p+1)/2),

где W(n) это так называемое число Волстенхолма или, попросту говоря, числитель энного гармонического числа H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(n-1) + 1/n.

На самом деле, чисел со свойствами 1. и 2. может быть и много, но пока известны только три таких простых числа p = {29, 37, 3373}.

Может ли это быть простым совпадением?

Скорее всего нет.

Поэтому резонно предположить, что все простые числа p со свойством 1. обладают и свойством 2. И наоборот.

Но это требуется еще доказать. Или найти контрпример.

Это мое предположение.


И напоследок, безотносительно к вышесказанному, об уникальности числа 3373.

Оказывается, k = 3373 это минимальное положительное число k, такое что число (2^k + (2n-1)^k)/(2n+1) является простым при n = 37.

Так что (2^3373 + 73^3373)/75 это довольно большое простое число.

Кстати, 3373 это еще и минимальное простое число вида (2^n-1)^3 - 2.

У нашего числа 3373 есть еще много других замечательных и загадочных свойств.


PS Забыл для наглядности проиллюстрировать свойство 1.:

29^2 делит 14^14 + 1,

37^2 делит 18^18 + 1,

3373^2 делит 1686^1686 + 1.

Наше число p легко запомнить.

(p-1)/2 = 1686 — это год, в котором умер итальянский математик Пьетро Менголи, тот который доказал расходимость гармонического ряда и ввел термин «натуральный логарифм».

А в конце 1686 года появился знаменитый труд Исаака Ньютона «Philosophia Naturalis Principia Mathematica».

***

PS Кстати, вот и задачка придумалась:

Найти минимальное число k, такое чтобы число f(k) = (73^k - 71^k)/2 было простым числом.

И подсказка:

Как легко можно доказать, всякое число k, соответствующее простому числу f(k), само должно быть простым.

***

Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 13 comments