November 30th, 2011

тигр
  • falcao

суммы кубов биномиальных коэффициентов

Пусть f(n) есть сумма кубов биномиальных коэффициентов Cnk по k от 0 до n.

Известно (Franel, 1894), что выполнено следующее рекуррентное соотношение:

f(n) = ((7n2-7n+2)f(n-1) + 8(n-1)2f(n-2))/n2.

Скорее всего, оно было получено с помощью производящих функций. Меня интересует, известно ли чисто комбинаторное доказательство этого факта. Имеется в виду рассмотрение упорядоченных троек равномощных подмножеств n-элементного множества с какими-то последующими "манипуляциями" и рассмотрениями "естественных" биекций.

С числами f(n) связан также ряд других известных тождеств. См., например

http://mathworld.wolfram.com/StrehlIdentities.html

Мне известны работы, где некоторые из этих тождеств доказываются чисто комбинаторными способами, без привлечения "аналитики". Интересно было бы получить что-то подобное и для рекуррентного соотношения, указанного выше.