chercheur_trouveur

Help

Дорогие коллеги, помогите, если можете, получить доступ (нужно довольно срочно)
к книге М.С Пинскера "Информация и информационная устойчивость случайных величин и процессов, Изд. АН СССР, М. 1960. (1960)
или ее американский перевод
M. S. Pinsker: Information and Information Stability of Random Variables and Processes. San Francisco: Holden‐Day Inc., 1964. Pp. xii + 243. Translated and annotated by Amiel Feinstein.

Заранее очень признателен
киса

Топологический вопрос о проективном пространстве

Можно ли на каждой прямой трёхмерного проективного пространства выбрать точку, чтобы точка от прямой зависела непрерывно? При желании трёхмерное проективное пространство можно представить как шар, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки сферы. Тогда прямые изображаются кусками окружностей любой кривизны, лежащих внутри шара и пересекающих его поверхность в диаметрально противоположных точках (включая диаметры и "экваторы" - большие окружности на сфере). Думаю, что нельзя, но бывают всякие чудеса (вроде слоения Риба).

P.S. Подумал: возьмём для простоты проективную плоскость, она устроена как сфера с отождествлёнными диаметрально противоположными точками. Большие окружности на сфере превращаются в прямые на проективной плоскости. Каждой точке сферы ("полюсу") соответствует большая окружность ("экватор", полярная прямая). Допустим, можно на каждой прямой непрерывно выбрать точку. Тогда для каждой точки ("полюса") выберем точку на его "экваторе", проведём через них прямую и получим причёсывание ежа (поле касательных прямых, непрерывно зависящих от точки-полюса). Для сферы это невозможно, а для проективной плоскости?

Неравенство о средних, геометрическое доказательство.



Известное неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для 3 переменных можно записать в виде

(a+b+c)^3 ⩾ 27abc

Александр Ханьевич Шень написал вопрос о существовании геометрического доказательства, а именно: в куб со стороной a+b+c можно ли разместить 27 прямоугольных параллелепипедов со сторонами a,b и с ? Вроде ему кто-то говорил, что можно, но что-то конкретного примера не было.

Я попробовал решить эту задачу и не смог. А уважаемый Константин Шамсутдинов написал программу, которая нашла: можно! Вот его письмо:

"Здравствуй, Сергей. Наконец написал программу для решения этой задачи. Результаты и ее основной исходник: http://kosshams.ru/Files/3x3x3abc/3x3x3abc.zip. Для просмотра решения, в том числе, в 3d можно использовать мою программу Filler3d: http://kosshams.ru/Files/3x3x3abc/Filler3d.zip.

Получилось 21 несимметричных между собой решения, в 14 из которых 27 параллелепипедов имеют распределение по ориентациям 555444, а в 7 - 666333. Для каждого из этих типов я сделал скриншоты для одного из решений, а также добавил файл конфигурации для программы Filler3d, которую я использовал для визуализации результатов, полученных в текстовом виде."

Эта же запись в группе головоломок в ФБ.



киса

Написал ликбез по нестандартному анализу

Вот он

https://mega.nz/#!a44XgSCZ!lrG-h5tHEpx1hzHI_FH0O4DFKQQTzUmrr2jMaurxYPs

Показал специалисту (С.С.Кутателадзе), на первый взгляд ляпов нет. Не стесняйтесь говорить, если что-то непонятно. Готов расширить раза в два, а то и три (там 20 страниц), полнометражный учебник писать не буду.
for food
  • p_k

Действие свободной абелевой группы нв цепном комплексе

Столкнулся со следующей конструкцией, которая выглядит как часть какой-то более общей науки, не знаю только какой:

Имеется цепной комплекс абелевых групп, на котором свободно действует свободная абелева группа конечного ранга ($\mathbb{Z}^n$). Действие группы коммутирует с граничными операторами, поэтому можно формально спроецировать комплекс на неприводимые представления $\mathbb{Z}^n$. Если считать характеры представлений независимыми переменными $z_1, \dots, z_n$, то все проекции вместе можно описать как цепной комплекс модулей над кольцом полиномов Лорана над $z_1, \dots, z_n$.

Прежде всего вопрос - такое описание факторизации по действию абелевой группы, как перехода к меньшему комплексу с коэффициентами в кольце полиномов Лорана от характеров - это же что-то стандартное небось? Что почитать на эту тему? И что можно сказать про связь циклов, границ и гомологий исходного комплекса и вот такого "фактора"?

И еще практический вопрос - какой пакет компьютерной алгебры годится, чтобы посчитать гомологии комплекса модулей конечного ранга над кольцом полиномов Лорана от нескольких переменных?
киса

Попытка улучшить координаты Плюккера

Прямую в трёхмерном проективном пространстве можно задавать парой ортогональных векторов d,m (определённых с точностью до множителя), которые называются координатами Плюккера

https://en.wikipedia.org/wiki/Pl%C3%BCcker_coordinates

(Кстати, мне кажется или в статье ошибка в формулах для line-line join и line-line meet? По-моему, там пропущен минус). Положим теперь

u=d+m
v=d-m

Это два вектора одинаковой длины (как сумма и разность ортогональных векторов) или чисто мнимых кватерниона. Если воспринимать прямую как двумерное подпространство в четырёхмерном линейном пространстве кватернионов, то кватернион q принадлежит этому подпространству если и только если

uq=qv

(проверяется вычислением). Далее, я выписал основные формулы в этих координатах, в том числе формулу для точки пересечения копланарных прямых, гораздо более изящную, чем здесь на странице 10 (Corollary 6)

http://web.cs.iastate.edu/~cs577/handouts/plucker-coordinates.pdf

Вопрос: неужели это никто не делал раньше? Если делал, то где почитать? Я спросил на Mathoverflow и вопрос был немедленно заморожен как offtopic.

Ищу интересующихся компьютерными вычислениями для PL многообразий

Здравствуйте. Я сейчас веду интересные вычисления, относящиеся к кусочно-линейным многообразиям, с помощью нашего (трёх авторов пока) пакета PL (и свеженаписанных мною дополнений), вот он: https://sourceforge.net/projects/plgap/
По-моему, он прекрасно работает, и я подумал, что он может заинтересовать более широкий круг математиков, как в плане применения готовых функций, так и в плане дальнейшего его развития.

Приветствуется дальнейшее распространение этого письма.

С наилучшими пожеланиями,

vaproseg@gmail.com
киса

Задача из компьютерной графики



Картинка скорей для привлечения внимания, но задача из той же области. На клетчатой бумаге (или экране из квадратных пикселей) нарисован произвольный треугольник. Надо: для каждой клетки, центр которой принадлежит треугольнику, вычислить, какой процент её площади покрыт треугольником. Что при этом можно использовать: вершинам треугольника можно приписать произвольные числа. После этого программа-интерполятор для центра каждой клетки вычисляет линейную интерполяцию этих чисел (по принципу барицентрических координат). Можно приписать вершинам сразу несколько чисел (например, 10) и вычислить 10 интерполяций. Кроме интерполяций, ничем пользоваться нельзя. Покрытие клетки надо вычислить по значению интерполяций в её центре (думаю, допустимо использовать и значения для ближайших соседних клеток). Или обосновать, что это невозможно.

Построение временных зависимостей по предыстории процесса.

Здравствуйте!
Есть следующая задача. Имеется система, состояние которой в каждый момент времени описывается конечным количеством (к примеру - десятью) величинами. Определение этих величин, меняющихся во времени, требует решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Левая часть каждого уравнения представляет собой первую производную по времени от соответствующей величины, правая часть зависит от всех искомых величин и времени (вообще говоря - нелинейно). Левая часть одного из уравнений содержит функцию времени, которая меняется скачкообразно, причём в интервале времени между скачками данная функция времени сохраняет постоянной значение. Если постоянное значение, принимаемое данной функцией на некотором интервале времени, достаточно велико, то величина, относительно которой записано дифференциальное уравнение, монотонно увеличивается во времени (при этом закон изменения либо близок к линейному, либо хорошо аппроксимируется возрастающей ветвью параболы) - назовём его f(t). На интервале времени, предшествующем монотонному росту, данная величина меняется во времени весьма сложным образом (поскольку дифференциальные уравнения содержать функции времени, описывающие сложные физические процессы) - назовём его f0(t). Характерная особенность заключается в том, что множеству существенно различных f0(t) в некоторых случаях соответствует практически одинаковые f(t).
Вопросы:
1) Означает ли это, что f0(t) можно поставить в соответствие некоторое число, например - интеграл по времени от некоторой функции F(f(t)), такой, что если его значение одинаково для нескольких разных f0(t), то функции f(t), соответствующие разным f0(t), будут практически одинаковы?
2) Позволяет ли это строить f(t) в случае, если неизвестны параметры исходной системы дифференциальных уравнений, а известна лишь f0(t), то есть предыстория процесса (например - из эксперимента)?
Если есть научные работы по данной теме - я был бы рад ознакомиться.
Заранее спасибо.