?

Log in

No account? Create an account
LiveJournal for Mathematics in Russian.

View:User Info.
View:Friends.
View:Calendar.
View:Memories.
You're looking at the latest 19 entries. Missed some entries? Then simply jump back 20 entries.

Thursday, April 11th, 2019

Subject:Попытка улучшить координаты Плюккера
Posted by:66george.
Time:1:02 pm.
Прямую в трёхмерном проективном пространстве можно задавать парой ортогональных векторов d,m (определённых с точностью до множителя), которые называются координатами Плюккера

https://en.wikipedia.org/wiki/Pl%C3%BCcker_coordinates

(Кстати, мне кажется или в статье ошибка в формулах для line-line join и line-line meet? По-моему, там пропущен минус). Положим теперь

u=d+m
v=d-m

Это два вектора одинаковой длины (как сумма и разность ортогональных векторов) или чисто мнимых кватерниона. Если воспринимать прямую как двумерное подпространство в четырёхмерном линейном пространстве кватернионов, то кватернион q принадлежит этому подпространству если и только если

uq=qv

(проверяется вычислением). Далее, я выписал основные формулы в этих координатах, в том числе формулу для точки пересечения копланарных прямых, гораздо более изящную, чем здесь на странице 10 (Corollary 6)

http://web.cs.iastate.edu/~cs577/handouts/plucker-coordinates.pdf

Вопрос: неужели это никто не делал раньше? Если делал, то где почитать? Я спросил на Mathoverflow и вопрос был немедленно заморожен как offtopic.
Comments: Add Your Own.

Sunday, March 17th, 2019

Subject:Ищу интересующихся компьютерными вычислениями для PL многообразий
Posted by:kamayaka.
Time:4:38 pm.
Здравствуйте. Я сейчас веду интересные вычисления, относящиеся к кусочно-линейным многообразиям, с помощью нашего (трёх авторов пока) пакета PL (и свеженаписанных мною дополнений), вот он: https://sourceforge.net/projects/plgap/
По-моему, он прекрасно работает, и я подумал, что он может заинтересовать более широкий круг математиков, как в плане применения готовых функций, так и в плане дальнейшего его развития.

Приветствуется дальнейшее распространение этого письма.

С наилучшими пожеланиями,

vaproseg@gmail.com
Comments: Add Your Own.

Thursday, March 7th, 2019

Subject:Задача из компьютерной графики
Posted by:66george.
Time:9:24 pm.


Картинка скорей для привлечения внимания, но задача из той же области. На клетчатой бумаге (или экране из квадратных пикселей) нарисован произвольный треугольник. Надо: для каждой клетки, центр которой принадлежит треугольнику, вычислить, какой процент её площади покрыт треугольником. Что при этом можно использовать: вершинам треугольника можно приписать произвольные числа. После этого программа-интерполятор для центра каждой клетки вычисляет линейную интерполяцию этих чисел (по принципу барицентрических координат). Можно приписать вершинам сразу несколько чисел (например, 10) и вычислить 10 интерполяций. Кроме интерполяций, ничем пользоваться нельзя. Покрытие клетки надо вычислить по значению интерполяций в её центре (думаю, допустимо использовать и значения для ближайших соседних клеток). Или обосновать, что это невозможно.
Comments: Read 13 orAdd Your Own.

Wednesday, February 20th, 2019

Subject:Построение временных зависимостей по предыстории процесса.
Posted by:superinfinity.
Time:7:28 pm.
Здравствуйте!
Есть следующая задача. Имеется система, состояние которой в каждый момент времени описывается конечным количеством (к примеру - десятью) величинами. Определение этих величин, меняющихся во времени, требует решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Левая часть каждого уравнения представляет собой первую производную по времени от соответствующей величины, правая часть зависит от всех искомых величин и времени (вообще говоря - нелинейно). Левая часть одного из уравнений содержит функцию времени, которая меняется скачкообразно, причём в интервале времени между скачками данная функция времени сохраняет постоянной значение. Если постоянное значение, принимаемое данной функцией на некотором интервале времени, достаточно велико, то величина, относительно которой записано дифференциальное уравнение, монотонно увеличивается во времени (при этом закон изменения либо близок к линейному, либо хорошо аппроксимируется возрастающей ветвью параболы) - назовём его f(t). На интервале времени, предшествующем монотонному росту, данная величина меняется во времени весьма сложным образом (поскольку дифференциальные уравнения содержать функции времени, описывающие сложные физические процессы) - назовём его f0(t). Характерная особенность заключается в том, что множеству существенно различных f0(t) в некоторых случаях соответствует практически одинаковые f(t).
Вопросы:
1) Означает ли это, что f0(t) можно поставить в соответствие некоторое число, например - интеграл по времени от некоторой функции F(f(t)), такой, что если его значение одинаково для нескольких разных f0(t), то функции f(t), соответствующие разным f0(t), будут практически одинаковы?
2) Позволяет ли это строить f(t) в случае, если неизвестны параметры исходной системы дифференциальных уравнений, а известна лишь f0(t), то есть предыстория процесса (например - из эксперимента)?
Если есть научные работы по данной теме - я был бы рад ознакомиться.
Заранее спасибо.
Comments: Add Your Own.

Friday, February 15th, 2019

Subject:Выразимость одних рациональных чисел через другие
Posted by:bntr.
Time:7:35 pm.
Направьте, пожалуйста, хотя бы термином, куда смотреть по поводу такой задачи.

Пусть есть несколько рациональных чисел.
Можно ли просто узнать, "независимы" они, или одни из них умножением и делением выразимы через другие?
Например {1/2, 2/3, 2/9} не "независимы", т.к. 2/9 = (2/3)*(2/3)/(1/2)

Пробовал рассматривать рациональные числа как векторы из показателей степеней простых чисел - не помогало.
Comments: Read 4 orAdd Your Own.

Wednesday, November 14th, 2018

Subject:Уточнение предыдущего вопроса
Posted by:66george.
Time:2:43 am.
Верно ли, что три попарно не пересекающиеся прямые в трёхмерном проективном пространстве определяют его ориентацию? Содержательно, они закручены или правым, или левым винтом, но как это формализовать?
Comments: Read 9 orAdd Your Own.

Sunday, November 11th, 2018

Subject:Ориентация трёхмерного проективного пространства
Posted by:66george.
Time:4:29 pm.
Есть ли изящный способ задавать ориентацию трёхмерного проективного пространства? Способ нужен "элементарный", без дифференциальной геометрии. Например, в евклидовом пространстве точка делит прямую на две части. Чтобы ориентировать прямую, надо выбрать одну из частей. Прямая делит плоскость на две части. Чтобы ориентировать плоскость, надо выбрать одну из полуплоскостей (если прямая уже ориентирована). Плоскость делит пространство на две части, надо выбрать одно из полупространств (если плоскость уже ориентирована). Для проективного пространства это не годится (проективная плоскость не ориентируема и не делит проективное пространство на две части). Отношение "лежать между" в проективном случае требует четырёх аргументов и становится неудобным для работы.

Зачем мне это нужно: на трёхмерном проективном пространстве можно задать умножение точек и превратить его в группу. А именно, точки проективного пространства соответствуют поворотам обычного (евклидова) пространства вокруг начала координат. Каждый поворот можно задать вектором, направленным вдоль оси поворота, длина которого равна углу поворота (тут надо выбрать правый или левый винт). Такие векторы заполняют шар радиуса пи с отождествлёнными диаметрально противоположными точками сферы (потому что повороты на пи и минус пи вокруг одной оси дают одинаковый результат). И тут мы видим, что умножение точек (композиция поворотов) зависит от того, как мы откладывали вектор поворота - правым или левым винтом. Таким образом, умножение точек зависит от ориентации проективного пространства. Чрезвычайно хочу придумать операцию, не зависящую от ориентации, через которую выражается это умножение, если ориентация выбрана.

Много подробностей про эту группу и её связь с проективной геометрией есть в книге Бахман "Построение геометрии на основе понятия симметрии".
Comments: Read 10 orAdd Your Own.

Saturday, September 29th, 2018

Subject:Как перевести smashing на русский?
Posted by:buddha239.
Time:12:01 pm.
Есть в гомологической алгебре термин smashing subcategory - и всякие его родственники/обобщения. Не посоветуете - как бы его перевести на русский? Может быть, кто-нибудь его где-нибудь уже перевел?:) Транслитерировать не хочу.

Спасибо!
Comments: Read 19 orAdd Your Own.

Friday, September 21st, 2018

Subject:Атия заявил о доказательстве гипотезы Римана
Posted by:niktoinikak.
Time:1:55 pm.
Британский математик заявил о доказательстве гипотезы Римана

© 2018 N+1

nplus1.ru/news/2018/09/21/riemann

nplus1.ru/

89-летний британский математик, сэр Майкл Фрэнсис Атья (Michael Francis Atiyah), лауреат премий Абеля и Филдса, известный своим вкладом в алгебраическую геометрию и топологию, заявил об успешном доказательстве гипотезы Римана. Это знаменитое утверждение описывает то, как расположены на числовой прямой простые числа. Математик представит «простое доказательство, использующее кардинально новый подход» утром в понедельник, 24 сентября
Comments: Read 2 orAdd Your Own.

Sunday, September 16th, 2018

Subject:Просьба к квалифицированным математикам - членам сообщества.
Posted by:niktoinikak.
Time:3:20 am.
Расскажите, please, достаточно элементарно о новых Филдсовских лауреатах и их работах.
Comments: Read 26 orAdd Your Own.

Saturday, July 7th, 2018

Subject:7/7
Posted by:aadamchuk.
Time:10:57 am.
известно, что великий математик Карл Фридрих Гаусс родился в 1777 году и прожил 77 лет.

сегодня 7 июля, то есть, 7/7.

мне почему-то вспомнилась задачка в духе великого Гаусса (а также в духе великого Эйлера, Рамануджана, нужное подчеркнуть)

777. задачка про разбиения целых чисел

пусть a(n) — это число разбиений целого числа 4n на 4 целые части (partitions).

1. докажите, что a(1000) = 444777777 + 1.

2. докажите, что для всех целых чисел k>0, a(10^k) = 4...47...7 + 1, где сначала цифра 4 повторяется k-раз, а затем цифра 7 повторяется 2k-раз.

то есть, a(10) = 478, a(100) = 447778 и т.д.

NB a(10) = 478 = 2*239,
а значит, эту задачку очень легко запомнить тем, кто помнит № одной известной питерской ФМШ (и № одной известной московской ФМШ)

что такое разбиения см., например, Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. (журнал "Квант" N11,1988) http://kvant.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm
.
Разбие́ние числа n — это представление n в виде суммы положительных целых чисел, называемых частями. При этом порядок следования частей не учитывается (в отличие от композиций), то есть разбиения, отличающиеся только порядком частей, считаются равными. https://ru.wikipedia.org/wiki/Разбиение_числа
.
https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)
Comments: Read 3 orAdd Your Own.

Wednesday, February 21st, 2018

Subject:как Элленберг считал вероятности в трансильванской лотерее в книжке "Как никогда не ошибаться..."
Posted by:pustota1.
Time:8:20 pm.
Приветсвую сообщество,

читаю книжку Элленберга в оригинале она называется "How not to be wrong: The Power of Mathematical Thinking" там он разбирает пример с трансильванской лотерей, плоскостью Фано итд сначала для случая как выбрать 7 билетов из 35 возможных, так чтобы максимизировать вероятность получения 2 правильных номеров из 3, за которые тоже дают приз. И он приводит таблицу вероятностей для разного количества билетов с 2 цифрами в 7 билетах и снабжает все это комментарием вы можете это сами посчитать. Я рассмотрел самые простые случаи -- ни одного билета с 2 правильными номерами и все 7:

ни одного: (23 chose 7)/(35 chose 7)
все семь: (12 chose 7)/35 chose 7)

и у меня получаются другие значения, чем в таблице.

Вопрос: что я делаю не так и как правильно считать?
Comments: Read 2 orAdd Your Own.

Sunday, February 11th, 2018

Subject:Спектральный радиус - оценка сверху
Posted by:mancunian.
Time:5:45 pm.
Пусть A - квадратная симметрическая матрица с неотрицательными элементами. У нее есть два вида строк: стохастические (сумма = 1) и субстохастические (сумма < 1). Понятно, что наибольшее собственное число А (= спектральный радиус ϱ(A)) меньше 1. Хотелось бы иметь более точную оценку сверху. Интуитивно понятно, что чем больше субстохастических строк, тем дальше от 1 будет ϱ(А).

Точнее, предположим, что мы знаем, что пропорция субстохастических строк не меньше 𝛿, где 0<𝛿<1. Можно ли что-то сказать про ϱ(A)? Есть формула для ϱ(A) через квадратичные формы, но неясно, как она может помочь.

В той модели, которая меня интересует, есть дополнительная информация про А. А именно,

(1) строки А содержат от двух до четырех ненулевых элементов;
(2) эти элементы 1/2 или 1/4;
(3) сумма элементов каждой строки 1/2, 3/4 или 1.
(4) матрица А центросимметрическая.

Заранее спасибо!
Comments: Read 7 orAdd Your Own.

Saturday, January 27th, 2018

Subject:Численные методы для решения задачи n тел.
Posted by:f4ekmah.
Time:6:29 pm.
Численно решаю задачу n тел методом Эйлера. Когда тела сближаются, большие ускорения скачком пробрасывают тела мимо друг друга; торможения не происходит, поскольку к следующему шагу тела уже далеко.
Это заметно повышает общую энергию системы.

Пытаясь избавиться от проблемы, попробовал неявный метод(ОДУ-шный аналог схемы Кранка-Николсона). Не помогло.

1.) Может быть кто знает, какие методы хорошо подходят для задачи n-тел?
2.) Не существует ли подхода, при котором общая энергия системы сохраняется?
Comments: Read 3 orAdd Your Own.

Tuesday, December 26th, 2017

Subject:Тождество с биномиальными коэффициентами.
Posted by:gaz_v_pol.
Time:4:43 pm.


Докажите знакопеременное тождество с биномиальными коэффициентами для нечетных p. Знак перед последним слагаемым может быть и плюс, и минус (как получится из знакопеременности).
Comments: Read 4 orAdd Your Own.

Saturday, November 18th, 2017

Subject:Свести поверхностный заряд к объёмному
Posted by:kray_zemli.
Time:6:46 pm.
Заинтересовала меня тут одна задача. Спрашиваю здесь, потому что уверен, что математики уже там давно уже все углы обгадили, решение должно уже быть, и мне дадут сразу правильные ссылки.

Из электростатики мы знаем об уравнении Пуассона, связывающем потенциал электрического поля и плотность заряда. Зная распределение объёмного заряда и потенциал на границе области, можно восстановить потенциал (и поле) во всём пространстве.

Меня интересует обратная задача: восстановить плотность заряда, зная потенциал на границе области (считаем, что снаружи области зарядов нет). Очевидно, задача не имеет однозначного решения. Одно из решений заключается в том, чтобы дважды решить уравнение Лапласа (внутри и снаружи области), а затем по излому производной потенциала на границе найти поверхностное распределение заряда. То есть, весь заряд в таком решении распределен по границе.

Но хочется другое решение. Хочется решение, в котором заряд максимально сконцентрирован. То есть, если потенциал представим как конечная сумма точечных зарядов, то чтобы именно это распределение и было результатом.

Я попробовал решать вариационную задачу, максимизируя потенциальную энергию зарядов (сконцентрированный заряд запасает больше энергии, и сильнее "хлопнет", если "взорвётся" на куски). То ли я плохо помню вариационное исчисление, то ли где-то ошибся, но результатом варьирования оказалось именно поверхностное распределение заряда (возможно, что в нём, наоборот, получается минимум энергии).

Можно свести всё к мультипольному разложению, тогда результатом будет сингулярная каша в начале координат, но это тоже не то, что мне нужно, да и я сомневаюсь, что удовлетворит условию минимальности.

Как же подступиться к задаче?
Comments: Read 5 orAdd Your Own.

Monday, October 23rd, 2017

Subject:Многогранник из выпуклых шестиугольников существует ли?
Posted by:gaz_v_pol.
Time:7:18 pm.
Вопрос: существует ли тороидальный многогранник, каждая грань которого является выпуклым шестиугольником?

Нетрудно доказать, что не существует сфероподобного многогранника, все грани которого являются выпуклыми шестиугольниками (это противоречит В+Г-Р=2). Существует тороидальный многогранник, некоторые грани которого являются невыпуклыми шестиугольниками (пример ниже принадлежит С.А.Лавреченко):



В интернете есть примеры красивых картинок с якобы выпуклыми шестиугольниками, см. например https://mathematica.stackexchange.com/questions/39879/create-a-torus-with-a-hexagonal-mesh-for-3d-printing/39930



Имею предположить, что все эти картинки неверные (то ли какая-то грань на самом деле неплоская, то ли один из шестиугольников невыпуклый). Основание так считать -- то, что на этих картинках в каждой вершине сходится ровно 3 шестиугольника (а так, видимо, не бывает -- т.е. пример с выпуклыми гранями, если он есть, обладает тем свойством, что в каких-то вершинах сходится более 3 шестиугольников).

Буду благодарен за советы.
Comments: Read 17 orAdd Your Own.

Sunday, August 20th, 2017

Posted by:66george.
Time:12:33 am.
Рассмотрим числа, которые можно построить циркулем и линейкой
https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_number
Пиша программу для интерактивных геометрических построений, задался вопросом, как эти числа записывать и сравнивать по величине?
http://dxdy.ru/topic116649.html
Оказалось, вопрос решён (глава Solving Geometrical Constraint System, автор Denis Bouhineau)
https://libgen.pw/download.php?id=336879
Идея в том, что не надо придумывать обозначения для всех чисел сразу. Делая конкретное геометрическое построение циркулем и линейкой, мы добавляем к полю рациональных чисел некоторые квадратные корни и получаем расширение вроде Q[\sqrt 2][\sqrt 3]. Элементы каждого такого поля записываются как пары чисел из предыдущего поля, например, элементы Q[\sqrt 2] имеют вид a+b\sqrt 2, где a и b из Q. Выписывается простой рекурсивный алгоритм сравнения по величине. Ключевая проблема - как не ввести поле вроде Q[\sqrt 9]? Bouhineau предложил алгоритм, проверяющий, является ли число полным квадратом в поле такого вида, мы можем проверить, что \sqrt 9=3 и расширять не надо.
В конце статьи проблема, цитирую
The main result of this paper relies on the possibility to find explicit square root in algebraic extention of Q with square roots. Can this be extended to root of arbitrary degree?

И вот вопрос - можно ли это сделать? Я спрашивал у Bouhineau, он не знает.
Comments: Read 14 orAdd Your Own.

Friday, August 18th, 2017

Subject:Минимальный многочлен для точки на единичной окружности может ли иметь нечетную степень?
Posted by:gaz_v_pol.
Time:5:02 pm.
Возьмем единичную окружность с центром в нуле, а на ней какую-либо точку. У соответствующего комплексного числа (если оно алгебраическое) есть минимальный многочлен. Вопрос: может ли он иметь нечетную степень?

Например, если взять число cos(Pi/9) + I * sin(Pi/9) , то у него минимальный многочлен x^6-x^3+1 имеет степень 6, т.е. четную. Буду благодарен за пример с нечетной степенью или доказательство, что такого быть не может (тривиальные пример x+1 и x-1 исключаем)

Спасибо.
Comments: Read 14 orAdd Your Own.

LiveJournal for Mathematics in Russian.

View:User Info.
View:Friends.
View:Calendar.
View:Memories.
You're looking at the latest 19 entries. Missed some entries? Then simply jump back 20 entries.