?

Log in

No account? Create an account
LiveJournal for Mathematics in Russian.

View:User Info.
View:Friends.
View:Calendar.
View:Memories.
You're looking at the latest 20 entries. Missed some entries? Then simply jump back 20 entries.

Saturday, July 7th, 2018

Subject:7/7
Posted by:aadamchuk.
Time:10:57 am.
известно, что великий математик Карл Фридрих Гаусс родился в 1777 году и прожил 77 лет.

сегодня 7 июля, то есть, 7/7.

мне почему-то вспомнилась задачка в духе великого Гаусса (а также в духе великого Эйлера, Рамануджана, нужное подчеркнуть)

777. задачка про разбиения целых чисел

пусть a(n) — это число разбиений целого числа 4n на 4 целые части (partitions).

1. докажите, что a(1000) = 444777777 + 1.

2. докажите, что для всех целых чисел k>0, a(10^k) = 4...47...7 + 1, где сначала цифра 4 повторяется k-раз, а затем цифра 7 повторяется 2k-раз.

то есть, a(10) = 478, a(100) = 447778 и т.д.

NB a(10) = 478 = 2*239,
а значит, эту задачку очень легко запомнить тем, кто помнит № одной известной питерской ФМШ (и № одной известной московской ФМШ)

что такое разбиения см., например, Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. (журнал "Квант" N11,1988) http://kvant.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm
.
Разбие́ние числа n — это представление n в виде суммы положительных целых чисел, называемых частями. При этом порядок следования частей не учитывается (в отличие от композиций), то есть разбиения, отличающиеся только порядком частей, считаются равными. https://ru.wikipedia.org/wiki/Разбиение_числа
.
https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)
Comments: Add Your Own.

Wednesday, February 21st, 2018

Subject:как Элленберг считал вероятности в трансильванской лотерее в книжке "Как никогда не ошибаться..."
Posted by:pustota1.
Time:8:20 pm.
Приветсвую сообщество,

читаю книжку Элленберга в оригинале она называется "How not to be wrong: The Power of Mathematical Thinking" там он разбирает пример с трансильванской лотерей, плоскостью Фано итд сначала для случая как выбрать 7 билетов из 35 возможных, так чтобы максимизировать вероятность получения 2 правильных номеров из 3, за которые тоже дают приз. И он приводит таблицу вероятностей для разного количества билетов с 2 цифрами в 7 билетах и снабжает все это комментарием вы можете это сами посчитать. Я рассмотрел самые простые случаи -- ни одного билета с 2 правильными номерами и все 7:

ни одного: (23 chose 7)/(35 chose 7)
все семь: (12 chose 7)/35 chose 7)

и у меня получаются другие значения, чем в таблице.

Вопрос: что я делаю не так и как правильно считать?
Comments: Read 2 orAdd Your Own.

Sunday, February 11th, 2018

Subject:Спектральный радиус - оценка сверху
Posted by:mancunian.
Time:5:45 pm.
Пусть A - квадратная симметрическая матрица с неотрицательными элементами. У нее есть два вида строк: стохастические (сумма = 1) и субстохастические (сумма < 1). Понятно, что наибольшее собственное число А (= спектральный радиус ϱ(A)) меньше 1. Хотелось бы иметь более точную оценку сверху. Интуитивно понятно, что чем больше субстохастических строк, тем дальше от 1 будет ϱ(А).

Точнее, предположим, что мы знаем, что пропорция субстохастических строк не меньше 𝛿, где 0<𝛿<1. Можно ли что-то сказать про ϱ(A)? Есть формула для ϱ(A) через квадратичные формы, но неясно, как она может помочь.

В той модели, которая меня интересует, есть дополнительная информация про А. А именно,

(1) строки А содержат от двух до четырех ненулевых элементов;
(2) эти элементы 1/2 или 1/4;
(3) сумма элементов каждой строки 1/2, 3/4 или 1.
(4) матрица А центросимметрическая.

Заранее спасибо!
Comments: Read 7 orAdd Your Own.

Saturday, January 27th, 2018

Subject:Численные методы для решения задачи n тел.
Posted by:f4ekmah.
Time:6:29 pm.
Численно решаю задачу n тел методом Эйлера. Когда тела сближаются, большие ускорения скачком пробрасывают тела мимо друг друга; торможения не происходит, поскольку к следующему шагу тела уже далеко.
Это заметно повышает общую энергию системы.

Пытаясь избавиться от проблемы, попробовал неявный метод(ОДУ-шный аналог схемы Кранка-Николсона). Не помогло.

1.) Может быть кто знает, какие методы хорошо подходят для задачи n-тел?
2.) Не существует ли подхода, при котором общая энергия системы сохраняется?
Comments: Read 3 orAdd Your Own.

Monday, January 22nd, 2018

Subject:Разные производные случайных процессов
Posted by:alisa_lebovski.
Time:7:16 pm.
Известен ли пример случайного процесса, все траектории которого нигде не дифференцируемы с вероятностью единица, но при этом среднеквадратическая производная существует?
Comments: Read 7 orAdd Your Own.

Tuesday, December 26th, 2017

Subject:Тождество с биномиальными коэффициентами.
Posted by:gaz_v_pol.
Time:4:43 pm.


Докажите знакопеременное тождество с биномиальными коэффициентами для нечетных p. Знак перед последним слагаемым может быть и плюс, и минус (как получится из знакопеременности).
Comments: Read 4 orAdd Your Own.

Saturday, November 18th, 2017

Subject:Свести поверхностный заряд к объёмному
Posted by:kray_zemli.
Time:6:46 pm.
Заинтересовала меня тут одна задача. Спрашиваю здесь, потому что уверен, что математики уже там давно уже все углы обгадили, решение должно уже быть, и мне дадут сразу правильные ссылки.

Из электростатики мы знаем об уравнении Пуассона, связывающем потенциал электрического поля и плотность заряда. Зная распределение объёмного заряда и потенциал на границе области, можно восстановить потенциал (и поле) во всём пространстве.

Меня интересует обратная задача: восстановить плотность заряда, зная потенциал на границе области (считаем, что снаружи области зарядов нет). Очевидно, задача не имеет однозначного решения. Одно из решений заключается в том, чтобы дважды решить уравнение Лапласа (внутри и снаружи области), а затем по излому производной потенциала на границе найти поверхностное распределение заряда. То есть, весь заряд в таком решении распределен по границе.

Но хочется другое решение. Хочется решение, в котором заряд максимально сконцентрирован. То есть, если потенциал представим как конечная сумма точечных зарядов, то чтобы именно это распределение и было результатом.

Я попробовал решать вариационную задачу, максимизируя потенциальную энергию зарядов (сконцентрированный заряд запасает больше энергии, и сильнее "хлопнет", если "взорвётся" на куски). То ли я плохо помню вариационное исчисление, то ли где-то ошибся, но результатом варьирования оказалось именно поверхностное распределение заряда (возможно, что в нём, наоборот, получается минимум энергии).

Можно свести всё к мультипольному разложению, тогда результатом будет сингулярная каша в начале координат, но это тоже не то, что мне нужно, да и я сомневаюсь, что удовлетворит условию минимальности.

Как же подступиться к задаче?
Comments: Read 5 orAdd Your Own.

Monday, October 23rd, 2017

Subject:Многогранник из выпуклых шестиугольников существует ли?
Posted by:gaz_v_pol.
Time:7:18 pm.
Вопрос: существует ли тороидальный многогранник, каждая грань которого является выпуклым шестиугольником?

Нетрудно доказать, что не существует сфероподобного многогранника, все грани которого являются выпуклыми шестиугольниками (это противоречит В+Г-Р=2). Существует тороидальный многогранник, некоторые грани которого являются невыпуклыми шестиугольниками (пример ниже принадлежит С.А.Лавреченко):



В интернете есть примеры красивых картинок с якобы выпуклыми шестиугольниками, см. например https://mathematica.stackexchange.com/questions/39879/create-a-torus-with-a-hexagonal-mesh-for-3d-printing/39930



Имею предположить, что все эти картинки неверные (то ли какая-то грань на самом деле неплоская, то ли один из шестиугольников невыпуклый). Основание так считать -- то, что на этих картинках в каждой вершине сходится ровно 3 шестиугольника (а так, видимо, не бывает -- т.е. пример с выпуклыми гранями, если он есть, обладает тем свойством, что в каких-то вершинах сходится более 3 шестиугольников).

Буду благодарен за советы.
Comments: Read 17 orAdd Your Own.

Sunday, August 20th, 2017

Posted by:66george.
Time:12:33 am.
Рассмотрим числа, которые можно построить циркулем и линейкой
https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_number
Пиша программу для интерактивных геометрических построений, задался вопросом, как эти числа записывать и сравнивать по величине?
http://dxdy.ru/topic116649.html
Оказалось, вопрос решён (глава Solving Geometrical Constraint System, автор Denis Bouhineau)
https://libgen.pw/download.php?id=336879
Идея в том, что не надо придумывать обозначения для всех чисел сразу. Делая конкретное геометрическое построение циркулем и линейкой, мы добавляем к полю рациональных чисел некоторые квадратные корни и получаем расширение вроде Q[\sqrt 2][\sqrt 3]. Элементы каждого такого поля записываются как пары чисел из предыдущего поля, например, элементы Q[\sqrt 2] имеют вид a+b\sqrt 2, где a и b из Q. Выписывается простой рекурсивный алгоритм сравнения по величине. Ключевая проблема - как не ввести поле вроде Q[\sqrt 9]? Bouhineau предложил алгоритм, проверяющий, является ли число полным квадратом в поле такого вида, мы можем проверить, что \sqrt 9=3 и расширять не надо.
В конце статьи проблема, цитирую
The main result of this paper relies on the possibility to find explicit square root in algebraic extention of Q with square roots. Can this be extended to root of arbitrary degree?

И вот вопрос - можно ли это сделать? Я спрашивал у Bouhineau, он не знает.
Comments: Read 14 orAdd Your Own.

Friday, August 18th, 2017

Subject:Минимальный многочлен для точки на единичной окружности может ли иметь нечетную степень?
Posted by:gaz_v_pol.
Time:5:02 pm.
Возьмем единичную окружность с центром в нуле, а на ней какую-либо точку. У соответствующего комплексного числа (если оно алгебраическое) есть минимальный многочлен. Вопрос: может ли он иметь нечетную степень?

Например, если взять число cos(Pi/9) + I * sin(Pi/9) , то у него минимальный многочлен x^6-x^3+1 имеет степень 6, т.е. четную. Буду благодарен за пример с нечетной степенью или доказательство, что такого быть не может (тривиальные пример x+1 и x-1 исключаем)

Спасибо.
Comments: Read 14 orAdd Your Own.

Sunday, June 25th, 2017

Subject:Теория относительности и автоморфные функции
Posted by:ext_1598388.
Time:1:36 pm.
СТО связана с геометрией Лобачевского (пространство скоростей). Автоморфные функции тоже связаны с геометрией Лобачевского. А есть ли работы, которые рассматривали бы связь ТО с автоморфными функциями?
Comments: Read 1 orAdd Your Own.

Wednesday, June 14th, 2017

Subject:Черновики Брауэра
Posted by:mathematics_fan.
Time:12:58 am.
В сеть выложили черновики Брауэра, который известен топологам как автор теоремы о неподвижной точке, а логикам - как основатель интуиционизма.

На странице по ссылке содержатся отсканированные черновики Брауэра, а также набранная на компьютере расшифровка этих черновиков - правда и то, и другое, на нидерландском языке (улыбка). Также на этой странице можно скачать диссертацию Иоганнеса Кайпера на английском языке "Ideas And Explorations. Brouwer’s Road to Intuitionism", посвященную анализу этих черновиков, - рекомендуется для прочтения историкам математики и апологетам интуиционизма (если они у нас еще остались), ну, и, в целом, специалистам по математической логике и основаниям математики.
Comments: Read 1 orAdd Your Own.

Friday, June 9th, 2017

Subject:Вопрос из теории групп.
Posted by:niktoinikak.
Time:2:32 pm.
Оригинал взят у niktoinikak в Вопрос из теории групп.
Следует ли из совпадения множества левых и правых смежных классов что подгруппа нормальная?
Вопрос кажется довольно естественным(хотя раньше мне в голову не приходил), групповушники вероятно знают ответ, но ответить на него сходу мне не удалось, беглый поиск
https://yandex.ru/search/?msid=1497032587.29633.22912.24730&text=%D0%A1%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D1%83%D0%B5%D1%82%20%D0%BB%D0%B8%20%D0%B8%D0%B7%20%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%85%20%D0%B8%20%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D1%8B%D1%85%20%D1%81%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%B2%20%D1%87%D1%82%D0%BE%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0%20%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F&lr=213
тоже ничего не дал :-(

Comments: Read 5 orAdd Your Own.

Tuesday, June 6th, 2017

Subject:Список математиков высшего ранга
Posted by:niktoinikak.
Time:11:33 am.
Оригинал взят у niktoinikak в Список математиков высшего ранга
Фалес, Евдокс, Теэтет, Архимед, Диофант, Виет, Ферма, Декарт, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж, Абель, Галуа, Коши, Гаусс, Дирихле, Вейерштрасс, Риман, Ли, Кантор, Пуанкаре, Гильберт, Гротендик
Товарищи квалифицированные математики, плиз Ваше мнение.

Comments: Read 58 orAdd Your Own.

Thursday, June 1st, 2017

Subject:Отнормировать выражение
Posted by:zmeygor.
Time:1:42 pm.
Здравствуйте уважаемые математики!

Помогите, пожалуйста, решить вроде бы не сложную задачу. Но что-то я туплю и чего-то не улавливаю...

Итак, условие: есть некая матрица А[N,K], т.е. в N строк и K столбцов, элементы которой пусть сэмплятся из одного и того же распределения P.
Для этой матрицы считаем матрицу ковариации её столбцов, а потом следом суммируем квадраты всех элементов матрицы ковариации, не лежащих на главной диагонали в скалярную величину L.
Далее нас интересует как меняется L при изменениях элементов исходной матрицы A, т.е. нужна матрица dL частных производных функции L(A) по каждому элементу А.

Проблема: магнитуда (rms) элементов dL в такой (канонической) постановке задачи оказывается зависимой не только от свойств порождающего А распределения Р, но и от самой размерности А, т.е. от N и K. А хочется, чтобы магнитуда dL от N и K не зависела. (т.е. надо как-то отнормировать L и dL, чтобы эту цель достичь. Вопрос - как?)

Или же в Матлабе:
Read more...Collapse )
Comments: Read 2 orAdd Your Own.

Friday, May 26th, 2017

Subject:Опубликован архив Гротендика
Posted by:mathematics_fan.
Time:5:21 pm.
10 мая университет Монпелье, наконец-то, выложил в сеть полный архив (18 000 отсканированных рукописных страниц) математика Александра Гротендика (рекомендуется для прочтения всем специалистам по алгебраической геометрии, знающим французский язык).

Подбор ссылок по Гротендику:

Самый подробный сайт о Гротендике и его трудах "The Grothendieck Circle" (на английском языке)

Фрагменты перевода на русский язык книги Гротендика "Урожаи и посевы": первое издание (Независимый Московский Университет), второе издание ("Регулярная и хаотическая динамика")

Страничка в Википедии о Гротендике

Некролог Юли Фридман на смерть Гротендика в 2014 году на сайте Михаила Вербицкого

Краткие сообщения о Гротендике на канале Telegram "Математика 18+" (для просмотра необходимо установленное на компьютер или телефон приложение Telegram)

Спор о том, кто является более "великим" математиком: Гротендик или Понтрягин (начиная с третьего сообщения и ниже) на научном форуме dxdy
Comments: Read 5 orAdd Your Own.

Thursday, May 18th, 2017

Subject:Артхаусный фильм о Гёделе
Posted by:mathematics_fan.
Time:12:58 pm.
10 лет назад в Голландской академии кино сняли 20-минутный артхаусный фильм о последнем годе жизни математика Курта Гёделя. Недавно к этому фильму открыли свободный доступ:
https://vimeo.com/7091945

Фильм на нидерландском (немецком?) с английскими субтитрами.
Comments: Read 1 orAdd Your Own.

Tuesday, May 16th, 2017

Subject:Коллективные статьи
Posted by:mathematics_fan.
Time:3:54 pm.
Сопоставлял статьи математиков в российских журналах и в зарубежных журналах и обнаружил, как мне кажется, некоторую особенность. Для статей на русском характерно малое количество авторов: очень часто у статьи только один автор; реже - два или три соавтора (причем в этих случаях, как правило, один из них учитель, а другие - его ученики); статьи, у которых больше трех соавторов, практически не встречаются. Для публикаций же на английском языке характерна абсолютно противоположная тенденция: статьи, в которых только один автор, практически не встречаются; статьи с двумя-тремя соавторами - редкость; зато очень часто у статей по пять-шесть соавторов (и этих соавторов нельзя подогнать под модель "учитель-ученики": очень часто это равноправные и самостоятельные ученые, которые просто провели совместное исследование).

Это какой-то российский индивидуализм? Или просто в зарубежных университетах и институтах жестче прессуют за количество публикаций, и поэтому математики включают друг друга в соавторы направо-налево? Или в России не развита культура совместных научных математических исследований?
Comments: Read 14 orAdd Your Own.

Sunday, April 17th, 2016

Subject:задача про три конфеты
Posted by:az118.
Time:7:24 am.
Оригинал взят у az118 в задача про три конфеты
ОТТУДА

Маша дает Пете три конфеты красного, зеленого и синего цвета и, говоря что две из них отравленные, просит выбрать одну и съесть.

Петя выбирает красную, после чего Маша заявляет что зеленая конфета отравленная и просит заменить красную на синюю или съесть все же красную.

вопрос:
каковы шансы Пети остаться в живых при замене и не замене красной конфеты при условии равновероятности годности каждой из конфет и правдивости Маши?
анализ...Collapse )


Comments: Read 6 orAdd Your Own.

Monday, May 1st, 2017

Subject:Регулярные политопы в 4D
Posted by:ext_1598388.
Time:5:16 pm.
В известной статье Джона Стиллвелла «THE STORY OF THE 120-CELL» (Not. AMS, Jan. 2001)
http://www.ams.org/notices/200101/fea-stillwell.pdf
показывается, что между некоторыми Платоновыми телами и их четырёхмерными «собратьями» (регулярными политопами) имеется очень простая связь: каждое вращение правильного 3D-многогранника задаётся единичным кватернионом (но два диаметрально противоположных кватерниона определяют одно и то же вращение, поэтому каждому вращению соответствует пара кватернионов), и все эти кватернионы, то есть четвёрки чисел, можно рассматривать как точки в 4D.
Тогда 24 точки, соответствующие 12 вращениям тетраэдра, служат вершинами правильного политопа в 4D, называемого 24-cell. Аналогично, 120 точек (удвоенная группа вращения икосаэдра) дают вершины самого сложного правильного политопа (600-cell).
Но ведь между тетраэдром и икосаэдром есть ещё куб и октаэдр, имеющие одну и ту же группу вращения. Она состоит из 24 элементов, и, значит, будет 48 кватернионов. Казалось бы, по аналогии, им тоже должен соответствовать правильный политоп в 4D, но среди давно установленных шести регулярных многоячейников такой не числится.
В статье Стиллвелла про этот политоп ничего не говорится. Известно ли что-нибудь про него?
Comments: Read 9 orAdd Your Own.

LiveJournal for Mathematics in Russian.

View:User Info.
View:Friends.
View:Calendar.
View:Memories.
You're looking at the latest 20 entries. Missed some entries? Then simply jump back 20 entries.