Математика по-русски

Рыжика и Градштейна не предлагать

Wed, 30 May 2012 11:22:18 GMT

Друзья!

Может ли кто-нибудь подсказать справочники сумм? Конкретно интересуют конечные суммы с Гамма-функциями и неполными Гамма-функциями.

Эллиптический интеграл

Wed, 23 May 2012 13:55:00 GMT

Нужно оценить его величину одним из двух способов:
1) получить главный член асимптотики (+ оценить погрешность);
2) получить асимптотическое разложение в ряд (+ показать равномерную непрерывность).

Хотелось бы не прибегать к специальным функциям и канонической форме.

О матричных уравнениях

Fri, 27 Apr 2012 12:25:22 GMT

Пусть A,B заданые (численные) матрицы n\times n. Хочется понять размерность пространства решений: AXB=BXA. Хотя бы для случая A,B обратимые и "достаточно общие" (тогда нужно явно выписать условие общности).

Как вообще обращаться с матричными уравнениями? Есть ли ultimate book?

А вообще-то общий случай такой. Пусть Mat^k(p,q,r) пространство всех матриц p\times q, элементы которых суть однородные формы степени k от r переменных. Пусть A\in Mat^k(p,q,r). Нужно понять размерность пространства решений XA=AY, где X\in Mat^j(p,p,r), Y\in Mat^j(q,q,r). Или хотя бы оценить (снизу/сверху).

upd. Всем спасибо!

Простой вопрос про коммутативной алгебре

Fri, 20 Apr 2012 10:58:05 GMT

На меня свалилось чтение лекций вместо сразу двух моих коллег. В ходе чтения конспекта одного из них, у меня возник простой вопрос:
http://mathoverflow.net/questions/94616/is-gcdzx-zyzgcdx-y-i-e-does-the-left-hand-side-of-this-equality-exist
Буду премного благодарен за комментарии - как здесь, так и на MO.

Простейшие операции на графах

Mon, 09 Apr 2012 09:38:35 GMT

Здравствуйте!

У меня есть еще один вопрос.

Пусть M — конечное множество, а S(M) — множество пар отображений из множества M в себя, то есть

S(M) = {(f₀, f₁) | f₀, f₁: M → M}.

Каждый элемент множества S(M) есть по сути некоторый конечный ориентированный граф со множеством вершин M, причем из каждой вершины исходят ровно две дуги, и эти дуги помечены 0 и 1.

На графах такого типа рассмотрим простейшие операции

e[b₀b₁…b_n := a₁…a_m]: S(M) → S(M), где

e ∈ M, ∀i: a_i, b_i ∈ {0, 1}.

От операции e[b₀b₁…b_n := a₁…a_n](f₀, f₁) = (g₀, g₁) затребуем выполнение определенных свойств. Обозначим a = f_a₁(…f_{a_m}(e)…) и b = f_b₁(…f_{b_n}(e)…). Тогда g_b₀(b) = a, и элемент b должен быть единственной точкой, где пара отображений (g₀, g₁) отличается от (f₀, f₁):

∀x ∈ M: i ≠ b₀ ⇒ g_i(x) = f_i(x);
∀x ∈ M: x ≠ b ⇒ g_b₀(x) = f_b₀(x).

Составляют ли операции вида e[b₀b₁…b_n := a₁…a_m] какую-либо известную алгебраическую структуру с интересными свойствами?

Заранее спасибо.

К знатокам дифференциальной геометрии

Wed, 04 Apr 2012 15:21:31 GMT

Как называется по-русски гиперповерхность в n-мерном аффинном пространстве: представляющаяся в виде суммы n-1 кривой? По-английски это manifold of translation type. А по-русски есть устоявшийся термин?

Вопрос об отображении

Sun, 01 Apr 2012 19:58:12 GMT

Здравствуйте!

У меня есть вопрос.

Пусть B = {0, 1} и M — конечное множество. Рассмотрим такие отображения

S: M × B → M, что

∀a ∈ M: {S(…S(a, b₁),… b_n) | n ∈ N, b₁,…, b_n ∈ B} = M.

Что уважаемое сообщество может сказать о природе таких отображений?

Заранее спасибо.

Оценка на число разложений четного числа на сумму двух простых?

Thu, 22 Mar 2012 10:48:44 GMT

Известны ли какие-нибудь аналитические результаты? Мажорирование функцией?

По математике ударили доверенным лицом

Sun, 18 Mar 2012 19:07:41 GMT

Завтра в Московских новостях выйдет подробный текст про смену директора школы им. Колмогорова, но уже сейчас можно прочесть на сайте.

http://mn.ru/society_edu/20120318/313747854.html
По математике ударили доверенным лицом
mn.ru
В знаменитой физико-математической школе им. А.Н. Колмогорова при МГУ уволили директора Анатолия Часовских. На его место назначен руководитель Студенческого союза МГУ и член координационного совета Общероссийского народного фронта Андрей Андриянов. Такое кадровое решение вызвало недовольство в колле...

re: QED http://kolmogorov.livejournal.com/70079.html

***

Квант+

Thu, 15 Mar 2012 02:21:33 GMT

Похоже, что журнал Квант+ (и его сайт kvantjournal.ru), пришедший было на смену почившему(?) Кванту прикрыли навсегда (история вопроса).

Хотя kvantjournal.ru сейчас находится "на реконструкции", вышедшие номера Квант+ по-прежнему доступны для скачивания. Из того, что удалось вспомнить:

http://www.kvantjournal.ru/files/Kvant062010.zip
http://www.kvantjournal.ru/files/Prilog_6-2010_pdf.zip
http://www.kvantjournal.ru/files/Kvant_pdf.zip
http://www.kvantjournal.ru/files/Kvant_2_11.pdf
http://www.kvantjournal.ru/files/Kvant-3.pdf

Заинтересованным рекомендую озаботиться скачиванием - будет жаль, если эти номера канут в лету из-за спора об авторских правах.

Вопрос по теории Галуа.

Sun, 11 Mar 2012 07:30:59 GMT

Дан неприводимый над Q многочлен от одной переменной f(x) с целыми коэффициентами, корни которого можно выразить через радикалы. Оказалось, что ровно один из его корней является вещественным числом. Верно ли, что этот корень можно выразить через радикалы от действительных чисел?

проблема кумулянтов

Wed, 07 Mar 2012 20:13:35 GMT

Существует многочисленная литература по проблеме моментов в теории вероятностей.
Есть ли какие либо результаты на "проблеме кумулянтов", которые гарантируют существование вероятностной мерой, имеющих заданную последовательность кумулянтов

Матстат

Fri, 17 Feb 2012 17:02:40 GMT

Проходим со студентами эффективность оценок по Рао-Фреше-Крамеру. Сначала разбираем несколько примеров с известными им, классическими распределениями, в которых эффективность есть. Из чего может создаться ложное впечатление, что она есть практически всегда. Потом смотрим примеры, где нет точной эффективности, но есть асимптотическая. Из этого тоже может создаться ложное впечатление, что если не точная, то уж асимптотическая эффективность есть всегда. Единственный известный мне (и решабельный для студентов) пример, в котором эффективность постоянна и меньше единицы, следующий: оценивается сигма для нормального распределения с нулевым средним, по выборочному среднему модулю. Надо сначала найти константу, на которую его надо помножить, чтобы оценка стала несмещенной, а потом посчитать эффективность. Константа оказывается коренем из пи пополам, а эффективность 1/(пи-2), т.е. примерно 88%. Это хорошо, но мало. Хотелось бы иметь хоть пару подобных примеров, чтобы один разобрать на занятии, а другой задать на дом.

Еще есть такая мутная тема - сверхэффективные оценки. Обычно пишут так: у эффективных оценок дисперсия убывает как 1/n. Но бывает, что неравенство Рао-Фреше-Крамера нарушается, и тогда дисперсия может убывать гораздо быстрее, например, как 1/n^2. В качестве примера обычно рассматривается оценка параметра тэта для равномерного распределения от нуля до тэта. Выводится несмещенная оценка, основанная на выборочном максимуме, находится ее дисперсия, оказывается порядка 1/n^2. Я этот пример рассказываю много лет. А недавно поняла один интересный нюанс: в этом примере даже оценка тэты удвоенным выборочным средним "сверхэффективна" в том смысле, что неравенство Рао-Фреше-Крамера нарушается, и левая часть просто втрое меньше правой (если я ничего не напутала). При этом они обе одного порядка убывания - 1/n. Считать это за сверхэффективность или как?

Шевелев В. С (автор в Кванте 1983-1990) ищется.

Tue, 07 Feb 2012 07:17:01 GMT

Друзья, не знает ли кто-нибудь контактов кфмн В.С. Шевелева ? Он напечатал три статьи в Кванте в 1983, 1988 и 1990 годах (ссылка). Дориченко спрашивал, он не знает. Заранее спасибо.

Теория вероятностей и спорт

Mon, 30 Jan 2012 13:08:44 GMT

Господа математики, а есть ли что почитать про приложения теории вероятностей к спорту?

Меня мало интересует, как там букмекеры считают свои коэффициенты (хотя, мимоходом, видимо, придется и эту тему охватить), ибо они считают для собственной прибыли.

Меня же интересует, существуют ли какие–либо серьезные работы, которые анализируют вероятный результат исхода матча, исходя из множества факторов.

Если нужна конкретика, интересует хоккей. Но любая информация будет полезной, думаю. Подскажите, куда окунуться, да что почитать.

Тождество для косинусов Pi/19 с кубическими корнями.

Sun, 29 Jan 2012 13:27:18 GMT

Проверка в Maple с точностью до 1000 знаков и код для желающих вставить в какую-нибудь другую программу:

Digits:=1000;
left:=surd(cos(3*Pi/19)+cos(5*Pi/19)+cos(17*Pi/19),3)+surd(cos(Pi/19)+cos(7*Pi/19)+cos(11*Pi/19),3)+surd(cos(9*Pi/19)+cos(13*Pi/19)+cos(15*Pi/19),3);
right:=(1/2-3*7^(1/3)+3/2*(-25+3*7^(2/3)+18*7^(1/3))^(1/3)+3/2*(-44+18*7^(1/3)+3*7^(2/3))^(1/3))^(1/3);
evalf(left-right);

Это число (левая и правая часть тождества) является корнем уравнения

8*x^9+(72*7^(1/3)-12)*x^6+(54*49^(1/3)-18*7^(1/3)+330)*x^3-(27*49^(1/3)+9*7^(1/3)+190)

Спасибо a_shen, dimpas, jedal, posic, relf за помощь.

Ну что, профессионалы теории Галуа — может Ваша теория объяснить, почему корень кубический из семи? Ладно бы из 19, а то из 7... И почему вообще выражение выражается через корни из действительных величин? Ведь сам по себе cos(Pi/19) нельзя выразить через корни только от действительных чисел...

Я действовал по методике, изложенной тут: http://kvant.mccme.ru/1988/06/tri_formuly_ramanudzhana.htm

UPD: выложил ещё на два форума:
http://dxdy.ru/topic54521.html
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=38&t=461077

Выражение корней конкретного уравнения 9ой степени через радикалы.

Sat, 21 Jan 2012 17:24:17 GMT

Конечно, общей формулы для выраженя корней уравнения 9ой степени через радикалы нет. Но некоторые конкретные уравнения решить можно. У меня есть основания полагать, что корни вот этого уравнения выражаются через радикалы (несмотря на то, что оно 9ой степени). Maple говорит, что группа Галуа устроена так:

(3 4 5)(6 8 7)
(1 2 9)(3 4 5)(6 7 8)
(1 2)(3 6)(4 8)(5 7)
(3 6 9)(1 4 7)(2 5 8)

Вопросы к уважаемым специалистам:

1. Можно ли отсюда сделать вывод, что корни действительно выражаются через радикалы?

2. В предположении, что корни действительно выражаются через радикалы -- существует ли программа, которая способна выразить? Интересует действительный корень (он единственный, около -1/2).

Спасибо.

Соответствие границ в старших размерностях

Wed, 11 Jan 2012 10:11:57 GMT

Пусть в R^n даны две ограниченные области с гладкой границей (т.е. компактные n-мерные подмногообразия с краем). Верно дли, что всякий квазиконформный диффеоморфизм между их внутренностями продолжается до гомеоморфизма их замыканий?

При n=2 это так, но известное мне доказательство (с помощью принципа длины и площади) существенно использует малость размерности.

Построение одной линейкой (методы доказательства невозможности).

Wed, 11 Jan 2012 06:06:02 GMT

На плоскости даны две непересекающиеся окружности. Можно ли одной линейкой построить их общую касательную?

Ответа я не знаю. Если ответ отрицательный, возникает вопрос -- как хотя бы теоретически это можно доказать? Я знаю лишь один метод доказательства, что нельзя что-то построить одной линейкой. Например, середину отрезка построить одной линейкой нельзя, т.к. можно предъявить проективное преобразование, которое отрезок оставляет на месте, а середину сдвигает в точку, делящую отрезок в отношении 2:1.

Но с этой задачей такой трюк не пройдёт. Ясно, что каково бы ни было преобразование, переводящее эти две окружности куда либо -- если прямая является касательной (т.е. имеет с окружностью ровно одну общую точку), то и образ будет иметь ровно одну общую точку.

Ищем статью.

Sat, 31 Dec 2011 17:44:01 GMT

Здравствуйте! Сотруднице ИММ УрО РАН требуются статьи:

1) SIAM J. Appl. Math. 37, pp. 539-560 (22 pages)

An Algorithmic Approach to Network Location Problems. II: The $p$-Medians

O. Kariv and S. L. Hakimi

2) SIAM J. Comput. 10, pp. 542-557 (16 pages)

Worst-Case and Probabilistic Analysis of a Geometric Location Problem

Christos H. Papadimitriou

Обе есть на сайте SIAM, но предлагают купить, а доступа у института почему-то нет. Гугл не помог. Нельзя ли ими как-то разжиться бесплатно?

Большое спасибо!

Free Textbook Introduction to Real Analysis, by William F. Trench

Sat, 31 Dec 2011 17:43:34 GMT

Подарок от автора:
http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/misc/index.shtml

Сэр Саймон

Sat, 31 Dec 2011 16:24:35 GMT

Дональдсону дали "рыцаря-бакалавра" (Knight Bachelor).

Один многоугольник внутри другого, суммы площадей через одну равны.

Thu, 29 Dec 2011 18:09:53 GMT

Если один n-угольник размещён внутри второго, так иногда бывает, что суммы площадей частей через одну равны (как на рисунке) независимо от взаимного расположения многоугольников. Никто не знает критерия, как это проверить, имея на руках два многоугольника? Или хотя бы широкого обобщения? Мне смутно помнится, что была какая-то очень общая теорема, что-то про единичные нормали к сторонам -- но вспомнить не могу. Если у кого-то есть идеи, подскажите, пожалуйста?

вопрос по статистике

Thu, 29 Dec 2011 17:58:57 GMT

Господа, не знает ли кто-нибудь теорем об асимптотическом совместном распределении выборочного среднего и выборочной медианы (в предположении, что они различны)?

планиметрия не по-русски

Fri, 23 Dec 2011 02:34:12 GMT

Друзья!
Не знает ли кто-нибудь места, где можно обзавестись подборкой элементарных геометрических задач с условиями на английском языке? Чтобы по уровню и содержанию где-то как наш Прасолов.
В Гугле меня забанили.
P.S. Только не спрашивайте, зачем.