Чертей рисую (flaass) wrote in ru_math,

теорема Ферма

Нет, не та, а другая, гораздо более полезная:
Каждое простое число вида p=4m+1 является суммой двух квадратов.

Несколько раз читал доказательства, и сразу забывал. И тут, на старости лет, решил вдруг понять, что эта теорема очевидна - и быстро понял. Причем удалось заметить всю цепочку мыслей, как они приходили и почему. Попробую восстановить; авось, будет интересно.

Итак, решаем x^2+y^2=p.
Первая Счастливая Мысль: слагаемые должны быть маленькие. Так что перебирать придется только пары 0 < x,y < sqrt(p), а их уже не так много.
Вторая Счастливая Мысль: а тогда достаточно смотреть только на остатки. Если x,y такие маленькие, и x^2+y^2 кратно p, то неминуемо будет равно p.
Хммм... а вообще, как найти, чтобы x^2+y^2 кратно p? Пусть даже большие. А легко: -1 квадратичный вычет (тут мы первый и последний раз вспомнили, что p=4m+1), значит, найдется такое k, что k^2+1 делится на p. А тогда можно брать, например, a^2+(ak mod p)^2 при любом a.
Значит, надо, чтобы и a, и ak mod p были близки к 0. Ну, с a проблем нет. А почему среди остатков k, 2k,... rk mod p (где r - целая часть корня из p) найдется близкий к нулю?
А потому, что их много! А если на окружности расставлено много точек, то какие-то будут близко друг к другу. А если (ak mod p) и (bk mod p) близки, то (|a-b|k mod p) близко к нулю!

Здесь работа заканчивается, и начинается рутина: записать все это в общепринятом виде и проверить, что все и вправду сходится.

Недостаток здесь один: единственность представления приходится потом доказывать отдельно. Впрочем, это уже нетрудно.
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 25 comments